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  【】将集合 的元素代入集合 求得集合 的元素,由此求得两个集合的并集.

  本题考查集合并集的运算,考查运算求解能力.

  ,则复数 在复平面内对应的点位于( )

  【】利用复数的运算化简求得 ,进而求得 的表达式,由此确定复数 对应的点所在象

  由已知得 位于第二象限,故选 B. 【】

  本小题主要考查复数的运算,考查复数对应坐标所在象限,属于基础题. 求解与复数概 念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数的概念都与复数的

  实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,

  3.为比较甲、乙两名高二学生的数学素养,对课程标准中规定的数学六大素养进行指

  标测验(指标值满分为 5 分,分值高者为优),根据测验情况绘制了如图所示的六大素

  养指标雷达图,则下面叙述正确的是( )

  A.乙的数据分析素养优于甲 B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养 C.甲的六大素养整体水平优于乙 D.甲的六大素养中数据分析zui差 【答案】C 【】根据题目所给图像,填写好表格,由表格数据选出正确选项.

  根据雷达图得到如下数据: 数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数学运算 数据分析

  由数据可知选 C. 【】 本题考查统计问题,考查数据处理能力和应用意识.

  上的两点,且线段 过抛物线 的焦点 ,若 的

  【】利用抛物线的抛物线的定义写出弦长公式,利用 中点横坐标来求得弦长.

  【】 本题考查直线与抛物线的位置关系,以及抛物线的定义和性质,考查运算求解能力和化 归与转化的数学思想.

  , ,则向量 与 的夹角为( )

  ,所以 .画出图像,根据图像确定 与

  的夹角,并根据它补角的正切值求得对应的角的大小.

  【】 本题考查平面向量的模以及夹角问题,考查运算求解能力,考查数形结合的数学思想方 法.属于中档题. 6.如图, , 分别是边长为 4 的等边 的中线,圆 是 的内切圆,线段 与圆 交于点 .在 中随机取一点,则此点取自图中阴影部分的概率是( )

  【】利用等边三角形中心的性质,求得内切圆的半径和阴影部分面积,再根据几何概型

  即圆 的半径为 ,由此可得图中阴影部分的面积等于

  本题考查几何概型问题,考查数据处理能力和应用意识.属于中档题.

  【】先令 ,求得 ,再令 求得 ,然后令

  本题考查二项式定理的应用,考查运算求解能力.属于基础题.

  8.若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的所有侧面和底面中,面积的zui大值为

  【】画出三视图对应的直观图,然后利用勾股定理、余弦定理以及三角形面积公式计算

  出四个面的面积,由此判断出面积zui大值.

  由三视图可得,该几何体的直观图如图所示,其中

  本题考查三视图的知识,考查空间想象能力和运算求解能力.属于中档题.

  【】先判断出函数的周期,然后利用周期性和已知条件,将

  B. 【】 本题考查函数的周期性与求值,考查运算求解能力.属于基础题.

  10.已知等差数列 A.8 【答案】C

  【】利用等差数列的性质化简已知条件,由此列方程,通过通过解方程求得 的值.

  本题考查等差数列的性质与前 项和的计算,考查运算求解能力.属于中档题.

  11.在平面直角坐标系 中,过双曲线

  行线,与两条渐近线的交点分别为 , ,若平行四边形 的离心率为( )

  【】设出 C 点的坐标,利用直线 和直线 的方程求得 点的坐标,由此求得 ,利

  用点到直线的距离公式求得 到直线 的距离,利用平行四边形的面积列方程,求得含

  有 的等式,利用 C 在双曲线上这一条件列方程,由此求得 的值,进而求出 的值以及

  【】 本题考查双曲线的渐近线与离心率,考查化归与转化的数学思想方法,考查运算求解能 力.属于中档题.解题过程中首先考虑的是将平行四边形的面积表示出来,这是方程的思 想,也即是要求一个未知数,通过未知数满足的一个方程来求解出来.

  【】将题目所给不等式转化为 的单调性,对

  ,由此得出函数 求导,则导数恒小于或等于零,分离常数 ,然后利

  本题考查利用导数研究函数的单调性和恒成立问题,考查推理论证能力和创新意识.属

  则 __________. 【答案】 【】画出可行域,平移基准直线

  到可行域边界位置,由此求得zui大值以及zui

  画出可行域如下图所示,由图可知,当直线

  过点 时, 取得zui小值 2,所以

  本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的zui值.这种类型题目的主要思路是:首

  先根据题目所给的约束条件,画出可行域;其次是求得线性目标函数的基准函数;接着

  画出基准函数对应的基准直线;然后通过平移基准直线到可行域边界的位置;zui后求出

  的图象相邻两个交点的横坐标分别为

  【】根据两个交点的横坐标求得函数的一条对称轴,将对称轴代入函数式,利用zui大值

  和zui小值列方程,解方程求得 的值.

  的图象的一条对称轴,函数取得zui大值或zui小值,将 代入函数式,得

  本题考查三角函数的性质,考查辅助角公式,考查推理论证能力.属于中档题.

  15.我国古代数学家祖暅提出原理:“幂势既同,则积不容异”.其中“幂”是截面积,“势”

  是几何体的高.该原理的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被任一平行于这

  两个平行平面的平面所截,若所截的两个截面的面积恒相等,则这两个几何体的体积相

  等.如图,在空间直角坐标系中的 平面内,若函数

  与 轴围成一个封闭的区域 ,将区域 沿 轴的正方向平移 8 个单位长度,得到几何体

  如图一,现有一个与之等高的圆柱如图二,其底面积与区域 的面积相等,则此圆柱的

  【答案】 【】利用四分之一圆的面积和直角三角形面积公式求得阴影部分的面积,进而求得圆柱 的体积.

  表示的是四分之一的圆的面积,且圆的半径是 ,所以区域 的面积为

  本题考查数学文化以及简单几何体的体积,考查利用几何意义计算定积分,考查空间想

  【答案】 【】分别求得当 为奇数和 为偶数时,数列的通项公式,再用分组求和法求得数列前

  ,所以 , , ,…, ,…是首项为

  1,公差为 6 的等差数列,因此

  所以 , , ,…, ,…是首项为 4,公比为 3 的等比数列,因此

  . 【】 本题考查等差、等比数列的通项公式与求和公式,考查化归与转化的数学思想.属于中 档题.

  【答案】(1)3;(2) . 【】(1)利用三角形内角和定理,将 转化为 ,化简已知条件求得 ,然后求得 ,利

  用等腰三角形求得 的长.(2)利用三角形面积列方程,求得 的值,利用余弦定理

  本小题主要考查三角形内角和定理,考查三角恒等变换,考查利用余弦定理和正弦定理

  解三角形,综合性较强,属于中档题.

  【答案】(1)详见;(2) . 【】(1)连接 , ,根据直径所对圆周角是直角,得到

  坐标原点,分别以 , , 的方向为 , , 轴的正方向建立空间直角坐标系通过

  计算平面 和平面 的法向量,计算二面角

  (1)证明:连接 , ,因为点 在以 为直径的圆上,所以

  (2)解:由(1)易知 , , 两两垂直,以 为坐标原点,分别以 , , 的

  方向为 ,,轴的正方向建立空间直角坐标系

  本小题主要考查线面垂直的证明,考查利用空间向量求解有关二面角的问题,考查空间

  想象能力和逻辑推理能力,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.

  19.2019 年春节期间,我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为掌

  握春节期间车辆出行的高峰情况,在某高速收费点处记录了大年初三上午 9:20~10:40

  这一时间段内通过的车辆数,统计发现这一时间段内共有 600 辆车通过该收费点,它们

  通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示,其中时间段 9:20~9:40 记作区间

  (1)估计这 600 辆车在 9:20~10:40 时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组 中的数据用该组区间的中点值代表); (2)为了对数据进行分析,现采用分层抽样的方法从这 600 辆车中抽取 10 辆,再从这 10 辆车中随机抽取 4 辆,记 为 9:20~10:00 之间通过的车辆数,求 的分布列与数学 期望; (3)由大数据分析可知,车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻 服从正态分布

  ,其中 可用这 600 辆车在 9:20~10:40 之间通过该收费点的时刻的平均值近似

  代替, 可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表),已知 大年初五全天共有 1000 辆车通过该收费点,估计在 9:46~10:40 之间通过的车辆数(结 果保留到整数).

  【答案】(1)10 点 04 分;(2)详见;(3)819 辆.

  【】(1)用每组中点值乘以频率,然后相加,得到平均值.(2)先用分层抽样的知识计

  的车辆数,然后利用超几何分布的知识计算出分布列,并求

  ,计算出方差 和标准差 ,利用正态分布的对称

  性,计算出在 9:46~10:40 这一时间段内通过的车辆的概率,乘以 得到所求车辆数.

  解:(1)这 600 辆车在 9:20~10:40 时间段内通过该收费点的时刻的平均值为

  (2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知:抽取的 10 辆车中,在 10:00 前通过

  ,所以 的可能取值为 0,1,2,3,4。

  估计在 9:46~10:40 这一时间段内通过的车辆数,也就是

  , 所以,估计在 9:46~10:40 这一时间段内通过的车辆数为 【】

  本小题主要考查根据频率分布直方图估计平均数和方差,考查超几何分布概率计算以及

  数学期望的计算,考查正态分布计算,属于中档题.

  (2)若 , 是椭圆 上的两个动点( , 两点不关于 轴对称), 为坐标原点, ,

  的斜率分别为 , ,问是否存在非零常数 ,使当

  值?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由.

  程组求得椭圆的标准方程.(2)设直线 的方程为

  的方程和椭圆方程,写出韦达定理,利用点到直线距离公式和弦长公式求得三角形

  的面积的表达式,结合①解得 和 的值.

  又因为该椭圆的焦距是短轴长的 倍,所以

  的面积 为定值.设直线 的方程为

  本小题主要考查椭圆标准方程的求解,考查直线和椭圆的位置关系,考查直线和椭圆相

  交所得弦的弦长的求法,考查与椭圆有关的三角形面积的求解,考查方程的思想,综合

  21.已知函数 (1)试讨论函数

  (2)若对任意的 数 的取值范围.

  【】(1)先求函数的定义域,然后求函数的导数

  恒成立,求实 ,对 分类讨论,将

  图象的交点个数来求解出来.(2)构造函

  确定 的一个范围,然后利用 的二阶导数验证在这个范围内,

  的zui大值不大于零,由此求得 的取值范围.

  时,两个图象没有交点,即函数 没有零点;

  ,即 时,两个图象有两个交点,即函数 有两个零点;

  ③当 ,即 时两个图象有一个交点,即函数 有一个零点;

  时,两个图象有一个交点,即函数 时,函数 没有零点;

  所以实数 的取值范围为 . 【】

  本小题主要考查函数零点问题的求解策略,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查

  化归与转化的数学思想方法,综合性较强,属于难题.函数零点问题,可以转化为两个

  22.在直角坐标系 中,曲线 的参数方程是

  原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为

  . (1)求曲线 , 的直角坐标方程;

  (2)设 , 分别在曲线 , 上运动,若 的zui小值是 1,求 的值.

  【答案】(1)曲线 的直角坐标方程为

  消去 参数方程的参数,得到直角坐标方程.利用

  ,化简求得 的直角坐标方程.(2)利用圆心到直线的距离减去

  半径,得到 的zui小值的表达式,解方程求得 的值.

  本小题主要考查参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程,考查圆上点到直线距离的

  , 的zui大值为 ,若正数 , 满足 ,得 ;

  (2)写出 的分段形式,求得函数的zui大值 ,由 利用基本不等式即可得证.

  本题主要考查了jue对值函数性质的研究,基本不等式的应用,属于中档题.

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